SIMSON

 

 

 

 


TARTALOM:

ˇ     A program

ˇ     Használati utasítás

ˇ     Háromszög nevezetességek

ˇ     Érdekességek

 

 

A PROGRAM

A program igényei:          1000 MHz processzor

                                      64 MB RAM

                                      SVGA grafika (800*600 képpont, 16 bit szín)

 

( De attól, hogy lassabb a géped 800 MHz-nél, nem kell kétségbe esned, hiszen nekem sikerült futtatnom akár 133 MHz-es gépen is!! Csak ott valamennyire akadozott. )

 

Ennek a programnak a célja, hogy szemléltesse az ábrázoló geometriában a háromszögre vonatkozó fontos és nevezetes tételeket (pl.: beírt kör, magasságpont, stb.). A program ingyenes!

A program indításához a simson.exe-t kell elindítani!

 

A programnak a forráskódja azért nyilvános, hogy a kezdő programozók tanulhassanak belőle. Igyekeztem minél több részt a forráskódban megjegyzésekkel érthetőbbé tenni.

 

 

 

HASZNÁLATI UTASÍTÁS

Az képernyő alsó részén található menüpontok segítségével ki lehet választani azt, hogy a háromszögre vonatkozó tételek közül melyiket ábrázolja a program (az egér bal gombjával rá kell kattintani a megfeleőre). Az aktuálisat ekkor sárgával színezi meg a program. Hasonlóan a kilépést is egyszerű rákattintással lehet elérni.

A súgó rész egy rövid egyoldalas ismertetővel szolgál, ebből az egér bal gombjának megnyomásával lehet visszatérni.

Az animáció vezérlő a Simson-egyenes részt tudja kezelni. (Amikor a Simson-egyenes gomb sárga, akkor válik aktívvá/kezelhetővé az animáció vezérlő). Ez által szemléletessé válik, ahogyan a P pont (tehát egy tetszőleges pont) végigfut a háromszög köré írt körén, és eközben hogyan mozog a P ponthoz tartozó Simson-egyenes. A ferde háromszöget tartalmazó gombbal lehet elindítani, valamint a négyzetet tartalmazó gombbal lehet megállítani a pontot (egy az egyben úgy kell kezelni, mint egy hanglejátszó play és stop gombját). A sebességgel pedig a pont futásának sebességét lehet beállítani természetesen.

Amelyik gombon egy kéz látható, annak megnyomásával pedig  a program az egér pozícióját levetíti a körre és ennek a körön levő pontnak rajzolja meg a Simson-egyenest. Ennek használatával könnyedén lehet vizsgálni akár a speciális helyzetű pontokhoz tartozó Simson-egyeneseket is (pl.: amikor a pont az egyik csúcson van rajta).

A kör alakú nyilat tartalmazó gomb pedig visszaállítja azt az állapotot, hogy animációként vizsgálhassuk a P pont mozgását a kör mentén.

 

A háromszög pontjainak mozgatásához először rá kell vinni az egeret a pont fölé (ekkor a háromszög pontja szürkévé válik), majd az egér bal gombjának folyamatos nyomvatartása mellett lehet a kívánt helyre áthelyezni. Fontos megjegyezni, hogy  csakis a háromszög csúcspontjait lehet mozgatni, mert az összes többi ezekből származik.

 

 

 

HÁROMSZÖG NEVEZETESSÉGEK

Köréírt kör

Minden háromszögnek van köréírt köre! (Természetesen ez a kör átmegy a csúcsokon.) Ennek az állításnak egy ekvivalens (egyenértékű) megfelelője, hogy a háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. És ennek az ekvivalens állításnak a bizonyítását azért nem írom le, mert annyira egyszerű, hogy minden középiskolás diák ismeri. Ha a háromszög hegyesszögű (minden szöge hegyesszög), akkor ennek a körnek a középpontja a háromszögön belül helyezkedik el. Ha derékszögű, akkor az átfogó felezőpontján, valamint tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívülre esik ez a pont.

Beírt kör

Minden háromszögnek van beírt köre (ami érinti a három oldalt)! Ennek az állításnak a bizonyításához elegendő azt megmutatni, hogy a háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ennek a tételnek a bizonyítását szintén minden középiskolás ismeri (vagy ismernie kellene).

Magasság

A háromszög magasságegyenesei egy pontban találkoznak! Magasságegyenesnek nevezzük a háromszögben azt az egyenest, ami átmegy az egyik csúcson és merőleges a szemközti oldalegyenesre.

Súlypont

Ha a háromszög oldalait megfelezzük és mindegyik csúcsot összekötjük a szemközti oldal felezőpontjával, akkor ezek a szakaszok egy pontban metszik egymást mindenképpen! Ennek az egyik legegyszerűbb bizonyítása a Ceva-tétel felhasználásával lehetséges.

Hozzáírt körök

Minden háromszögnek 3 hozzáírt köre van. Hozzáírt körnek definiálunk minden olyan kört, ami érinti a háromszög oldalegyeneseit. Ezek középpontjait úgy kaphatjuk meg, ha először megszerkesztjük a háromszög külső szögfelezőit. Javaslat: mivel ezek a körök elképesztő nagyok is tudnak lenni, a Simson programban érdemes lekicsinyíteni a háromszöget (közel kell helyezni a pontjait).

Euler-egyenes

A matematika egyik kiemelkedő alakja, Euler vett észre egy összefüggést a háromszög néhány nevezetes pontja között. Méghozzá azt, hogy a háromszögnek a köréírt kör középpontja, a súlypontja és a magasságpontja egy egyenesre esik. (Ez alól egyedül a szabályos háromszög tesz kivételt, mert ilyenkor ez a három pont egybeesik.) Ezek osztási aránya 1:2.

Talpponti háromszög

A hegyesszögű háromszögbe írható háromszögek közül a talpponti háromszögnek a legkisebb a kerülete. Ennek legegyszerűbb bizonyítását Fejér Lipót (1880-1959) matematikus találta meg. A talpponti háromszög csúcsait úgy szerkeszthetjük meg, hogy az eredeti háromszög valamelyik csúcsát le kell vetíteni a szemközti oldalra (itt tehát a talppontokról van szó), és ezekből pont három van.

 

Simson-egyenes

Egy tetszőleges háromszög köréírt körének bármelyik pontját is választjuk, mindegyikhez tartozik egy Simson-egyenes. Ezt az egyenest úgy szerkeszthetjük meg, hogy merőlegeseket kell állítani az oldalegyenesekre úgy, hogy ezek a merőlegesek átmenjenek a tetszőlegesen választott ponton. Ennek a bizonyításához a kerületi szögek tételét kell felhasználni. Abban az esetben, ha ez a pont egybeesik a háromszög egyik csúcsával, akkor ez az egyenes éppen egybeesik a háromszög egyik magasságegyenesével. Egy másik érdekes tulajdonsága, hogy a háromszög két átellenes pontjaihoz tartozó Simson-egyenesek merőlegesek egymásra. Ebből következik, hogy amikor ez a tetszőleges pont (a köréírt körön) éppen a háromszög egyik csúcsával szemközt helyezkedik el, akkor a Simson-egyenes "ráfekszik" az egyik oldalegyenesre. Ez az egyenest egyébként Wallace-egyenesnek is szokták hívni.

Parabolák

Először is tisztázzuk azt, hogy mit értünk parabola alatt: a parabola azoknak a pontoknak a mértani helye a síkon, amely pontok rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy egy adott egyenestől (a vezéregyenestől) és egy adott ponttól (fókuszponttól, ami nem lehet rajta az egyenesen) egyenlő távol van. És most tekintsük azokat a parabolákat, amelyeknek fókuszai a háromszög valamely csúcsa, vezéregyenesei pedig a csúccsal szemközti oldalegyenes! Nyilvánvaló, hogy ezekből 3 van. És ezeknek az az érdekessége, hogy az egyik csúcshoz tartozó parabolát érinti a szemközti két csúcshoz tartozó belső szögfelező. Ez az állítás mind a három parabolára érvényes! Fontos megjegyezni, hogy ezt az összefüggést én magam (Vőneki Balázs), a program készítője vettem észre.

 

 

ÉRDEKESSÉGEK

 

A Simson program 3 hónap alatt készült el. Az első verzió csak félig készült el, mert bizonyos részét a programnak nem tudtam megoldani. Nagyon sok próbálgatás után már kezdtem azt hinni, hogy lehetetlen megcsinálni. Ezek történtek tehát az első 2 hétben. Ezután nagyon sokáig, kb. másfél hónapig nem történt semmi, míg a négyjegyű függvénytáblázatot olvasgatva egyszer csak egy nagyszerű ötlettel álltam elő. Először papíron számoltam ki néhány dolgot annak érdekében, hogy valóban működni fog-e ezzel a módszerrel, tehát ellenőrzéseket végeztem. Minden jel arra mutatott, hogy ez biztos működni fog. És ekkor szorgosan elkezdtem készíteni a mostani verziót. Tulajdonképpen ezt a programot 1 hónapig írtam napi 2-3 órában. Az utolsó hétre maradtak a "szépítés" feladatai: ikonkészítés, szkennelés, intro csinálás, CD-re írás... És végre elkészült!

Mikor elkészült az 1.0 verzió, rengeteg idő telt el, mire nekiláttam az újított változatnak, vagyis az 1.1-esnek. Ebben kijavítottam néhány apró hibát, és ami még ennél is fontosabb, hogy kezelhetőbbé tettem azáltal, hogy felújítottam a súgót.

 

A fejlesztés alatt álló programot folyamatosan több példányban is elmentettem (biztonsági okok miatt). Méghozzá 3 floppy-ra és 2 winchester-re. Ez így első olvasásra kicsit soknak tűnik, de szerintem az ennél kevesebb nem igazán biztonságos. Gondolni kell a legrosszabb esetekre is, mint pl. amikor 2 floppy elromlik (nem tudja a gép olvasni), az egyik winchester felmondja a szolgálatot és ekkor nagyon jól tud jönni az a maradék egy floppy és winchester. Persze ezt a fokozott biztonsági intézkedéseket csak az utolsó 3 hétben kezdtem el, azelőtt nem tartottam fontosnak.

A program FreePascal-ban íródott. A grafikához felhasználtam a VENOM Software VGFX grafikáját (www.venomsoftware.de). A program 800×600 felbontásban dolgozik 16 bit színnel.

 

 

 

 

 

Köszönöm, hogy kipróbáltad ezt az ingyenes programot!

Ha bármilyen észrevételed vagy hozzászólásod van a programmal kapcsolatban, akkor szívesen várom leveled a simson-program@axelero.hu címre!

 

Minden jog fenntartva. Jelen programot vagy annak részeit a szerző engedélye nélkül bármilyen formában vagy eszközzel reprodukálni tilos! Ez azt jelenti, hogyha fel akarsz használni valamilyen dolgot a programban (pl. eljárás, függvény, kép, stb.), akkor köteles vagy értesíteni engem erről, és megbeszéljük. A program által okozott esetleges károkért felelősséget nem vállalok.

 

Elérhetőségeim:                        e-mail: simson-program@axelero.hu

                                               posta:  6728 Szeged, Tölgyfa utca 20.

                                               tel.:      06-62-473-231

 

 

Készítette Vőneki Balázs

 
 


2003 Szeged