SIMSON
TARTALOM:
ˇ
A program
ˇ
Használati
utasítás
ˇ
Háromszög
nevezetességek
ˇ
Érdekességek
A PROGRAM
A program igényei: 1000
MHz processzor
64 MB RAM
SVGA grafika (800*600 képpont, 16 bit szín)
( De attól, hogy lassabb a géped 800 MHz-nél, nem kell kétségbe esned, hiszen nekem sikerült futtatnom akár 133 MHz-es gépen is!! Csak ott valamennyire akadozott. )
Ennek a programnak a célja, hogy szemléltesse az ábrázoló geometriában a
háromszögre vonatkozó fontos és nevezetes tételeket (pl.: beírt kör, magasságpont,
stb.). A program ingyenes!
A program indításához a simson.exe-t kell
elindítani!
A programnak a forráskódja azért nyilvános, hogy a kezdő programozók tanulhassanak belőle. Igyekeztem minél több részt a forráskódban megjegyzésekkel érthetőbbé tenni.
HASZNÁLATI UTASÍTÁS
Az
képernyő alsó részén található menüpontok segítségével ki lehet választani azt,
hogy a háromszögre vonatkozó tételek közül melyiket ábrázolja a program (az
egér bal gombjával rá kell kattintani a megfeleőre). Az aktuálisat ekkor
sárgával színezi meg a program. Hasonlóan
a kilépést is egyszerű rákattintással lehet elérni.
A súgó rész egy rövid egyoldalas ismertetővel szolgál,
ebből az egér bal gombjának megnyomásával lehet visszatérni.
Az animáció vezérlő a Simson-egyenes részt tudja
kezelni. (Amikor a Simson-egyenes gomb sárga, akkor válik aktívvá/kezelhetővé
az animáció vezérlő). Ez által szemléletessé válik, ahogyan a P pont (tehát egy
tetszőleges pont) végigfut a háromszög köré írt körén, és eközben hogyan mozog
a P ponthoz tartozó Simson-egyenes. A ferde háromszöget tartalmazó gombbal
lehet elindítani, valamint a négyzetet tartalmazó gombbal lehet megállítani a
pontot (egy az egyben úgy kell kezelni, mint egy hanglejátszó play és stop
gombját). A sebességgel pedig a pont futásának sebességét lehet beállítani
természetesen.
Amelyik gombon egy kéz látható, annak megnyomásával
pedig a program az egér pozícióját
levetíti a körre és ennek a körön levő pontnak rajzolja meg a Simson-egyenest.
Ennek használatával könnyedén lehet vizsgálni akár a speciális helyzetű
pontokhoz tartozó Simson-egyeneseket is (pl.: amikor a pont az egyik csúcson
van rajta).
A kör alakú nyilat tartalmazó gomb pedig visszaállítja
azt az állapotot, hogy animációként vizsgálhassuk a P pont mozgását a kör
mentén.
A háromszög pontjainak mozgatásához először rá kell vinni
az egeret a pont fölé (ekkor a háromszög pontja szürkévé válik), majd az egér
bal gombjának folyamatos nyomvatartása mellett lehet a kívánt helyre
áthelyezni. Fontos megjegyezni, hogy
csakis a háromszög csúcspontjait lehet mozgatni, mert az összes többi
ezekből származik.
HÁROMSZÖG NEVEZETESSÉGEK
Köréírt kör
Minden háromszögnek van köréírt köre! (Természetesen ez a kör átmegy a csúcsokon.) Ennek az
állításnak egy ekvivalens (egyenértékű) megfelelője, hogy a háromszög
oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. És ennek az ekvivalens állításnak a bizonyítását azért
nem írom le, mert annyira egyszerű, hogy minden középiskolás diák ismeri. Ha a
háromszög hegyesszögű (minden szöge hegyesszög), akkor ennek
a körnek a középpontja a háromszögön belül helyezkedik el. Ha derékszögű, akkor
az átfogó felezőpontján, valamint tompaszögű háromszög esetén a háromszögön
kívülre esik ez a pont.
Beírt
kör
Minden háromszögnek
van beírt köre (ami érinti a három oldalt)! Ennek az állításnak a
bizonyításához elegendő azt megmutatni, hogy a háromszög belső szögfelezői egy
pontban metszik egymást. Ennek a tételnek a bizonyítását szintén minden
középiskolás ismeri (vagy ismernie kellene).
Magasság
A háromszög
magasságegyenesei egy pontban találkoznak! Magasságegyenesnek nevezzük a
háromszögben azt az egyenest, ami átmegy az egyik csúcson és merőleges a
szemközti oldalegyenesre.
Súlypont
Ha a háromszög
oldalait megfelezzük és mindegyik csúcsot összekötjük a szemközti oldal
felezőpontjával, akkor ezek a szakaszok egy pontban metszik egymást
mindenképpen! Ennek az egyik legegyszerűbb bizonyítása a Ceva-tétel
felhasználásával lehetséges.
Hozzáírt
körök
Minden háromszögnek 3
hozzáírt köre van. Hozzáírt körnek definiálunk minden olyan kört, ami érinti a
háromszög oldalegyeneseit. Ezek középpontjait úgy kaphatjuk meg, ha először
megszerkesztjük a háromszög külső szögfelezőit. Javaslat: mivel ezek a körök
elképesztő nagyok is tudnak lenni, a Simson programban érdemes lekicsinyíteni a
háromszöget (közel kell helyezni a pontjait).
Euler-egyenes
A matematika egyik
kiemelkedő alakja, Euler vett észre egy összefüggést a háromszög néhány
nevezetes pontja között. Méghozzá azt, hogy a háromszögnek a köréírt kör
középpontja, a súlypontja és a magasságpontja egy egyenesre esik. (Ez alól egyedül
a szabályos háromszög tesz kivételt, mert ilyenkor ez a három pont egybeesik.)
Ezek osztási aránya 1:2.
Talpponti
háromszög
A hegyesszögű
háromszögbe írható háromszögek közül a talpponti háromszögnek a legkisebb a
kerülete. Ennek legegyszerűbb bizonyítását Fejér Lipót (1880-1959) matematikus
találta meg. A talpponti háromszög csúcsait úgy szerkeszthetjük meg, hogy az
eredeti háromszög valamelyik csúcsát le kell vetíteni a szemközti oldalra (itt
tehát a talppontokról van szó), és ezekből pont három van.
Simson-egyenes
Egy tetszőleges
háromszög köréírt körének bármelyik pontját is választjuk, mindegyikhez
tartozik egy Simson-egyenes. Ezt az egyenest úgy szerkeszthetjük meg, hogy
merőlegeseket kell állítani az oldalegyenesekre úgy, hogy ezek a merőlegesek
átmenjenek a tetszőlegesen választott ponton. Ennek a bizonyításához a kerületi
szögek tételét kell felhasználni. Abban az esetben, ha ez a pont egybeesik a
háromszög egyik csúcsával, akkor ez az egyenes éppen egybeesik a háromszög
egyik magasságegyenesével. Egy másik érdekes tulajdonsága, hogy a háromszög két
átellenes pontjaihoz tartozó Simson-egyenesek merőlegesek egymásra. Ebből
következik, hogy amikor ez a tetszőleges pont (a köréírt körön) éppen a
háromszög egyik csúcsával szemközt helyezkedik el, akkor a Simson-egyenes
"ráfekszik" az egyik oldalegyenesre. Ez az egyenest egyébként
Wallace-egyenesnek is szokták hívni.
Parabolák
Először is tisztázzuk
azt, hogy mit értünk parabola alatt: a parabola azoknak a pontoknak a mértani
helye a síkon, amely pontok rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy egy adott
egyenestől (a vezéregyenestől) és egy adott ponttól (fókuszponttól, ami nem
lehet rajta az egyenesen) egyenlő távol van. És most tekintsük azokat a
parabolákat, amelyeknek fókuszai a háromszög valamely csúcsa, vezéregyenesei
pedig a csúccsal szemközti oldalegyenes! Nyilvánvaló, hogy ezekből 3 van. És
ezeknek az az érdekessége, hogy az egyik csúcshoz tartozó parabolát érinti a
szemközti két csúcshoz tartozó belső szögfelező. Ez az állítás mind a három parabolára
érvényes! Fontos megjegyezni, hogy ezt az összefüggést én magam (Vőneki
Balázs), a program készítője vettem észre.
ÉRDEKESSÉGEK
A Simson program 3 hónap alatt készült el. Az első
verzió csak félig készült el, mert bizonyos részét a programnak nem tudtam
megoldani. Nagyon sok próbálgatás után már kezdtem azt hinni, hogy lehetetlen
megcsinálni. Ezek történtek tehát az első 2 hétben. Ezután nagyon sokáig, kb.
másfél hónapig nem történt semmi, míg a négyjegyű függvénytáblázatot olvasgatva
egyszer csak egy nagyszerű ötlettel álltam elő. Először papíron számoltam ki
néhány dolgot annak érdekében, hogy valóban működni fog-e ezzel a módszerrel,
tehát ellenőrzéseket végeztem. Minden jel arra mutatott, hogy ez biztos működni
fog. És ekkor szorgosan elkezdtem készíteni a mostani verziót. Tulajdonképpen
ezt a programot 1 hónapig írtam napi 2-3 órában. Az utolsó hétre maradtak a
"szépítés" feladatai: ikonkészítés, szkennelés, intro csinálás, CD-re
írás... És végre elkészült!
Mikor elkészült az 1.0 verzió, rengeteg idő telt el, mire nekiláttam az
újított változatnak, vagyis az 1.1-esnek. Ebben kijavítottam néhány apró hibát,
és ami még ennél is fontosabb, hogy kezelhetőbbé tettem azáltal, hogy
felújítottam a súgót.
A fejlesztés alatt álló programot folyamatosan több példányban is
elmentettem (biztonsági okok miatt). Méghozzá 3 floppy-ra és 2 winchester-re. Ez így első olvasásra kicsit
soknak tűnik, de szerintem az ennél kevesebb nem igazán biztonságos. Gondolni
kell a legrosszabb esetekre is, mint pl. amikor 2 floppy elromlik (nem tudja a
gép olvasni), az egyik winchester felmondja a szolgálatot és ekkor nagyon jól
tud jönni az a maradék egy floppy és winchester. Persze ezt a fokozott
biztonsági intézkedéseket csak az utolsó 3 hétben kezdtem el, azelőtt nem tartottam
fontosnak.
A program FreePascal-ban íródott. A grafikához
felhasználtam a VENOM Software VGFX grafikáját (www.venomsoftware.de). A program
800×600 felbontásban dolgozik 16 bit színnel.
Köszönöm, hogy kipróbáltad ezt az ingyenes programot!
Ha bármilyen észrevételed vagy hozzászólásod
van a programmal kapcsolatban, akkor szívesen várom leveled a simson-program@axelero.hu
címre!
Minden jog fenntartva. Jelen programot vagy annak részeit a szerző
engedélye nélkül bármilyen formában vagy eszközzel reprodukálni tilos! Ez azt
jelenti, hogyha fel akarsz használni valamilyen dolgot a programban (pl.
eljárás, függvény, kép, stb.), akkor köteles vagy értesíteni engem erről, és
megbeszéljük. A program által okozott esetleges károkért felelősséget nem
vállalok.
Elérhetőségeim: e-mail:
simson-program@axelero.hu
posta:
6728 Szeged, Tölgyfa utca 20.
tel.: 06-62-473-231
Készítette Vőneki Balázs
2003 Szeged